\exercice*
\begin{enumerate}
  \item Selon l'énoncé, le premier terme de $\left(u_n\right)$ est $u_1=-2$. Puisque chaque terme (sauf le premier) est égal à l'inverse du précédent, on a :
$u_2=\frac{1}{ u_1 } =\frac{1}{ -2 } =-\frac{1}{ 2 }$ ; $u_3=\frac{1}{ u_2 } =\frac{1}{ -\frac{ 1 }{ 2 } } =-2$ ; $u_4=\frac{1}{ u_3 } =\frac{1}{ -2 } =-\frac{1}{ 2 }$ ; $u_5=\frac{1}{ u_4 } =\frac{1}{ -\frac{ 1 }{ 2 } } =-2$ ; $u_6=\frac{1}{ u_5 } =\frac{1}{ -2 } =-\frac{1}{ 2 }$ ; $u_7=\frac{1}{ u_6 } =\frac{1}{ -\frac{ 1 }{ 2 } } =-2$.
\begin{enumerate}
 \item Calcul du septième terme :
le premier terme est $u_1$ ; le deuxième terme est $u_2$ ; le troisième terme est $u_3$ ; le quatrième terme est $u_4$ ; le cinquième terme est $u_5$ ; le sixième terme est $u_6$ ; le septième terme est $u_7$.
Le terme demandé est donc : $u_7=-2$.
\item Le terme de rang 6 est : $u_6=-\frac{ 1 }{ 2 }$.
\item Nous avons calculé que : $u_4=-\frac{ 1 }{ 2 }$.
\end{enumerate}
  \item La suite $u$ est définie pour $n\geq1$ par : $u_n=\frac{ 3 }{ 5 }n-6$.
Elle est donc définie par son terme général : pour calculer un terme de rang $n$, on peut calculer directement l'image de $n$ par la suite.
\begin{enumerate}
 \item Calcul du septième terme :
le premier terme est $u_1$ ; le deuxième terme est $u_2$ ; le troisième terme est $u_3$ ; le quatrième terme est $u_4$ ; le cinquième terme est $u_5$ ; le sixième terme est $u_6$ ; le septième terme est $u_7$.
Le terme demandé est donc : $u_7=
\frac{ 3 }{ 5 }\times 7-6 = \frac{ 21 }{ 5 } - \frac{ 6 \times 5 }{ 5 } = \frac{ 21 -30 }{ 5 } = \frac{ -9 }{ 5 }$.
La solution est $u_{ 7 }=\frac{ -9 }{ 5 }$.
\item Le terme de rang 6 est $u_{ 6 }$.
Le terme demandé est donc : $u_{ 6 }=\frac{ 3 }{ 5 }\times 6-6 = \frac{ 18 }{ 5 } - \frac{ 6 \times 5 }{ 5 } = \frac{ 18 -30 }{ 5 } = \frac{ -12 }{ 5 }$.
La solution est donc  : $u_{ 6 }=\frac{ -12 }{ 5 }$.
\item
On a : $u_{ 4 }=\frac{ 3 }{ 5 }\times 4-6 = \frac{ 12 }{ 5 } - \frac{ 6 \times 5 }{ 5 } = \frac{ 12 -30 }{ 5 } = \frac{ -18 }{ 5 }$.
La solution est donc  : $u_{ 4 }=\frac{ -18 }{ 5 }$.
\end{enumerate}

\item La suite $\left(u_n\right)$ est définie par récurrence, pour $n\geq3$, par :
    \[\left\{\begin{array}{l}
      u_3=-5\\
      \text{Pour tout $n\geq3$ : } u_{n+1}=\frac{ 4 }{ 5 }u_n.
  \end{array}\right.\]

\begin{align*}
u_4 &= \frac{ 4 }{ 5 }u_3 =\frac{ 4 }{ 5 }\times \left( -5 \right) =\frac{ -20 }{ 5 } =-4 \\u_5 &= \frac{ 4 }{ 5 }u_4 =\frac{ 4 }{ 5 }\times \left( -4 \right) =\frac{ -16 }{ 5 } \\u_6 &= \frac{ 4 }{ 5 }u_5 =\frac{ 4 }{ 5 }\times \frac{ -16 }{ 5 } =\frac{ -64 }{ 25 } \\u_7 &= \frac{ 4 }{ 5 }u_6 =\frac{ 4 }{ 5 }\times \frac{ -64 }{ 25 } =\frac{ -256 }{ 125 } \\u_8 &= \frac{ 4 }{ 5 }u_7 =\frac{ 4 }{ 5 }\times \frac{ -256 }{ 125 } =\frac{ -1024 }{ 625 } \\u_9 &= \frac{ 4 }{ 5 }u_8 =\frac{ 4 }{ 5 }\times \frac{ -1024 }{ 625 } =\frac{ -4096 }{ 3125 }
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Calcul du septième terme :
le premier terme est $u_3$ ; le deuxième terme est $u_4$ ; le troisième terme est $u_5$ ; le quatrième terme est $u_6$ ; le cinquième terme est $u_7$ ; le sixième terme est $u_8$ ; le septième terme est $u_9$.
Le terme demandé est donc : $u_9=\frac{ -4096 }{ 3125 }$.
\item Le terme de rang 6 est : $u_6=\frac{ -64 }{ 25 }$.
\item Nous avons calculé que : $u_4=-4$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}